Для начала найдем стороны квадрата ABCD. Так как AM перпендикулярен к плоскости квадрата, то он является высотой треугольника MBC, а сторона квадрата является его основанием. Из этого следует, что сторона квадрата равна 10.

Также, из условия угол между плоскостями ABC и MBC равен 45 градусов, и треугольник MBC прямоугольный. Тогда применим теорему синусов:
sin(45) = h / 10
h = 10 sin(45)
h = 10 (sqrt(2) / 2)
h = 5 * sqrt(2)

Теперь можем найти площадь треугольника MBC:
S = (1/2) основание высота
S = (1/2) 10 5 sqrt(2)
S = 25 sqrt(2)

Итак, площадь треугольника MBC равна 25 * sqrt(2).