Пусть прямоугольная призма имеет высоту h.

Поскольку сечение проходит через ребро нижнего основания и вершину верхнего основания, то это сечение также будет делить высоту h на две части: h1 и h2.

Таким образом, мы имеем следующую диаграмму:

A
/|\
/ | \
h / | \ h2
/ | \
/ | \
B-----------C
h1

По теореме Пифагора для треугольника ABC с гипотенузой 13 см и катетами 5 см и 12 см имеем:

13^2 = 5^2 + 12^2
169 = 25 + 144
169 = 169

Таким образом, у нашего треугольника угол между сторонами 5 см и 12 см равен 90 градусов.

Теперь найдем площадь сечения, которое является прямоугольным треугольником ABC с катетами 5 см и 12 см. Его площадь равна S = (1/2) 5 12 = 30 см^2.

Так как угол между сечением и нижним основанием равен 30 градусов, то высота h1, деленная на катет 5 см, будет равна cos(30°):

h1 / 5 = cos(30°)
h1 = 5 cos(30°)
h1 = 5 sqrt(3) / 2
h1 = 5 * 1.732 / 2
h1 = 8.66 см

Тогда h2 = h - h1 = 2.34 см.

Теперь мы можем найти объем призмы:

V = S h
V = 30 см^2 8.66 см
V ≈ 259.8 см^3

Таким образом, объем данной призмы равен примерно 259.8 см^3.