Пусть стороны треугольника равны a, b и c, где c - это гипотенуза.

По условию дано, что площадь прямоугольного треугольника равна S, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 4S.

Так как площадь прямоугольного треугольника равна (a*b)/2, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна c^2, получаем:

(a*b)/2 = S
c^2 = 4S

Из уравнения площади прямоугольного треугольника найдем выражение для одной из сторон треугольника:

b = 2S/a

Теперь подставим это выражение в уравнение площади квадрата:

c^2 = 4S
c^2 = 4((a(2S/a))/2)
c^2 = 4*(2S)
c^2 = 8S

Таким образом, получаем, что c = sqrt(8S) = 2sqrt(2)sqrt(S)

Теперь найдем тангенсы острых углов треугольника:

tg(A) = a/b
tg(B) = b/a

tg(A) + tg(B) = a/b + b/a = (a^2 + b^2)/(ab) = (a^2 + 4S/a)/(a2S/a) = (a^3 + 4S)/(2aS) = (a^3 + 4S)/(2a(ab)/2) = (a^3 + 4S)/(a^2b)

Подставим выражение для b и найдем сумму тангенсов:

tg(A) + tg(B) = (a^3 + 4S)/(a^2b) = (a^3 + 4S)/(a^2(2S/a)) = (a^3 + 4S)/(2a) = a^2/2 + 2

Таким образом, сумма тангенсов острых углов треугольника равна a^2/2 + 2.