Для равностороннего треугольника биссектриса, проведенная из вершины угла, делит противоположную сторону на две равные части и перпендикулярна этой стороне.

Таким образом, биссектриса равностороннего треугольника даст два равных равнобедренных треугольника. Для одного из этих треугольников мы можем использовать теорему Пифагора:

(a^2 = (b/2)^2 + h^2),

где (a = 18\sqrt{3}) (противоположная сторона), (b = 9\sqrt{3}) (половина основания), (h) — биссектриса.

Подставим значения и найдем биссектрису:

((18\sqrt{3})^2 = (9\sqrt{3})^2 + h^2),

(324 \cdot 3 = 81 \cdot 3 + h^2),

(972 = 243 + h^2),

(h^2 = 729),

(h = 27).

Итак, биссектриса равностороннего треугольника равна 27 см.