Для решения задачи воспользуемся теоремой угловой биссектрисы.

Известно, что биссектриса делит угол на два равных угла. Обозначим отрезок AK как х.

Так как ВК - биссектриса, то из равенства углов получаем:
ABK = CBK

Применим теорему синусов в треугольнике ABK и CBK:

ABK / sin(BAK) = BK / sin(ABK) => 7,5 / sin(BAK) = BK / sin(CBK) (1)

CBK / sin(CBK) = BK / sin(BCK) => 6 / sin(CBK) = BK / sin(BAK) (2)

Из (1) и (2) получаем:

7,5 / sin(BAK) = 6 / sin(CBK)

sin(BAK) = 7,5 * sin(CBK) / 6

sin(BAK) = 7,5 * sin(arcsin(4 / 6)) / 6

sin(BAK) = 7,5 * 0,6667 / 6

sin(BAK) = 0,8333

BAK = arcsin(0,8333)

BAK ≈ 56,69°

Теперь используем теорему синусов в треугольнике BAK:

AK / sin(BAK) = AB / sin(ABK)

x / sin(56,69°) = 7,5 / sin(22,31°)

x = 7,5 * sin(56,69°) / sin(22,31°)

x ≈ 12,62

Ответ: отрезок АК ≈ 12,62