Для начала найдем координаты точки М. Обозначим вершины треугольника как A(0,0), B(8,0), C(0,6). Точка М равноудалена от всех вершин треугольника, следовательно, она является центром окружности, описанной вокруг треугольника. Так как точка М равноудалена от всех вершин треугольника, то ее координаты будут средними значениями координат вершин:

x = (0 + 8 + 0) / 3 = 8 / 3 = 2.6667
y = (0 + 0 + 6) / 3 = 6 / 3 = 2

Таким образом, координаты точки М равны (2.6667, 2).

Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12, а значит, расстояние от точки М до середины гипотенузы (точка Н) также равно 12. Поскольку треугольник прямоугольный, можно заметить, что точка Н совпадает с вершиной прямоугольного треугольника, которая не является прямым углом. Следовательно, точка Н имеет координаты (4, 3).

Теперь можем искать расстояние от точки М до вершины треугольника. Обозначим вершину треугольника как D(x, y).

Расстояние от точки А до точки D равно 12 (расстояние от точки М до плоскости треугольника), а от точки М до точки D равно расстоянию от точки А до точки Д минус расстоянию от точки А до точки М. По формуле для расстояния между двумя точками:

AD = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)
MD = sqrt( (2.6667 - x)^2 + (2 - y)^2)

Итак, мы имеем:

(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 12^2
(8 - x)^2 + (0 - y)^2 = 12^2
(0 - x)^2 + (6 - y)^2 = 12^2
(2.6667 - x)^2 + (2 - y)^2 = d^2

где d - расстояние от точки М до точки Д.

Решив эту систему уравнений можно найти значения x и y, после чего подставить их в формулу для d и найти расстояние от точки М до вершины треугольника.