Для начала найдем длины сторон треугольника АВС, используя теорему синусов:
BC = AC sin$A$ / sin$C$ = 15 sin$20$ / sin$90$ = 15 sin$20$ AB = AC sin$B$ / sin$C$ = 15 sin$70$ / sin$90$ = 15 cos$20$

Теперь найдем координаты точки М. Пусть координаты точки А = $0,0$, точки В = $15<em>cos(20),15</em>sin(20)$ и точки С = $15,0$.
Точка M находится на равном расстоянии от трех вершин треугольника, поэтому ее координаты будут средними координат вершин треугольника:
М = $(0+15<em>cos(20)+15)/3,(0+15</em>sin(20)+0)/3$ = $15<em>(2</em>cos(20)+1)/3,5\ast sin(20)/3$

Теперь найдем векторы МС и МН, где Н - проекция точки М на плоскость треугольника АВС. Вектор МС = $15-15<em>(2</em>cos(20)+1)/3,0,0-5<em>sin(20)/3$ = $15</em>(1-2<em>cos(20))/3,0,-5</em>sin(20)/3$.

Так как вектор НС лежит в плоскости треугольника, то его координата по z равна 0. Тогда координаты точки Н будут: H = $15<em>(2</em>cos(20)+1)/3,5\ast sin(20)/3,0$.

Вектор МН = $15<em>(2</em>cos(20)+1)/3-15<em>(2</em>cos(20)+1)/3,5<em>sin(20)/3-5</em>sin(20)/3,0-0$ = $0,0,0$. Значит, векторы МС и МН коллинеарны, и угол между МС и плоскостью АВС равен углу, который вектор МС образует со стороной треугольника.

Найдем косинус угла между МС и стороной AB $уголB$:
cos$\angle B$ = $МС<em>AB$ / $|МС|</em>|AB|$ = $15<em>(1-2</em>cos(20))/3<em>15</em>cos(20)+0<em>15</em>sin(20)/3$ / $(15<em>(1-2</em>cos(20))/3{)}^2+(0{)}^2+(-5<em>sin(20)/3{)}^2$^0.5 $15<em>cos(20)$^0.5 = $15</em>(1-2<em>cos(20))/3</em>15<em>cos(20)$ / $15</em>(1-2\ast cos(20))/3$^2 = cos$20$.

Таким образом, угол между МС и плоскостью АВС равен arccos$cos(20)$ = 28 градусов 42 минуты.