Для начала найдем длину радиуса описанной окружности. Поскольку точка O - центр вписанной окружности, то радиус вписанной окружности равен 3 см (равен половине суммы сторон треугольника минус длина стороны треугольника).

Затем найдем длину стороны треугольника. Для этого воспользуемся законом косинусов:
AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 AO OC cos(C)
AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 6 3 cos(60)
AC^2 = 36 + 9 - 36 * 0.5
AC^2 = 45 - 18
AC^2 = 27
AC = √27
AC ≈ 5.2 см

Теперь найдем длину радиуса описанной окружности, воспользовавшись формулой:
R = (AB BC AC) / (4 S)
где S - площадь треугольника.
Так как угол С = 60 градусов, то
S = 0.5 AB BC sin(C)
27 = 0.5 AB BC 0.866
AB BC = 62.185
AB = 5.2
BC = 62.185 / 5.2
BC ≈ 11.9 см

Теперь можем найти радиус описанной окружности:
R = (5.2 11.9 5.2) / (4 * 27)
R = 338.52 / 108
R ≈ 3.13 см

Итак, длина радиуса описанной окружности составляет около 3.13 см.