Пусть AD = x, тогда AB = x + 1.

Так как площадь треугольника ABC равна 6 см^2, то:

6 = 0.5 AD AB
6 = 0.5 x (x + 1)
6 = 0.5x^2 + 0.5x
12 = x^2 + x
x^2 + x - 12 = 0

Решив квадратное уравнение, найдем значения x:

x = 3 или x = -4 (отрицательное значение длины невозможно)

Таким образом, AD = 3, AB = 4.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон:

Площадь = AD AB = 3 4 = 12 см^2

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 12 см^2.