Для начала найдем высоту пирамиды.

Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусов, то треугольник, образованный боковым ребром, радиусом основания и высотой, является прямоугольным.

Высота пирамиды образует с радиусом основания прямой угол. Таким образом, в этом треугольнике найдем катет при угле 30 градусов, который равен половине стороны основания: 4 дм / 2 = 2 дм.

Теперь можем найти высоту пирамиды по теореме Пифагора:
h = √(4^2 - 2^2) = √(16 - 4) = √12 дм = 2√3 дм.

Теперь можем найти объем правильной шестиугольной пирамиды по формуле:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания пирамиды.

Поскольку у нас правильная шестиугольная пирамида, то ее основание - правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника равна:
S = (3√3 * a^2) / 2,
где a - длина стороны правильного шестиугольника.

Для нашей пирамиды а = 4 дм.

S = (3√3 4^2) / 2 = 6√3 4 = 24√3 дм^2.

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) 24√3 2√3 = 16√3 дм^3.

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды равен 16√3 кубических дециметров.