Для доказательства неравенства kp < mp воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике MNP.

Пусть угол NKP равен α. Тогда в прямоугольном треугольнике NKP справедливо следующее равенство:

kp^2 = kn^2 + np^2 - 2knnp*cosα

Так как угол NKP острый, то косинус α будет положительным числом. Следовательно, если добавить 2knnp*cosα к обеим сторонам неравенства, то получим:

kp^2 + 2knnp*cosα = kn^2 + np^2

Теперь рассмотрим треугольник MNP. По теореме косинусов в нем также справедливо равенство:

mp^2 = mn^2 + np^2 - 2mnnp*cosβ

где β – угол между сторонами MN и MP. Так как угол NKP острый, а угол NKP равен β, то β тоже острый. Следовательно, косинус β будет положительным числом.

Добавим 2mnnp*cosβ к обеим сторонам данного равенства:

mp^2 + 2mnnp*cosβ = mn^2 + np^2

Так как kp ≤ kn и mn ≤ mp, то получается, что:

kp^2 + 2knnpcosα ≤ mp^2 + 2mnnpcosβ

Из этого следует, что:

kp^2 + 2knnpcosα < mp^2 + 2mnnpcosβ

Таким образом, kp^2 < mp^2, откуда следует, что kp < mp.