Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и свойством подобных треугольников.

По условию:
Один из катетов равен 15 см, обозначим его как a.
Проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см, обозначим эту проекцию как b.

Пусть второй катет равен x, а гипотенуза равна c.

Исходя из теоремы Пифагора, имеем:
a^2 + x^2 = c^2,
15^2 + x^2 = c^2,
225 + x^2 = c^2.

Также, у нас есть подобие треугольников ABC и ADE, где BC и DE - высоты, опущенные из вершины прямого угла. Следовательно, треугольники ABC и ADE подобны друг другу.
Используем свойство подобных треугольников, имеем:
b/x = c/15,
16/x = c/15,
16 = c*x/15.

Теперь мы можем найти c:
16 = c*x/15,
240 = cx,
c = 240/x.

Подставляем это значение c в уравнение с теоремой Пифагора:
225 + x^2 = (240/x)^2,
225 + x^2 = 57600/x^2,
225x^2 + x^4 = 57600,
x^4 + 225x^2 - 57600 = 0.

Это квадратное уравнение относительно x^2. Решая его, находим x = 12 см.

Теперь можем найти гипотенузу:
c = 240/12 = 20 см.

Теперь можем найти периметр треугольника:
P = a + x + c,
P = 15 + 12 + 20,
P = 47.

Ответ: Периметр треугольника равен 47 см.