Пусть у нас есть треугольник ABC с медианой BD. Тогда стороны треугольника обозначим как AB, AC и BC.

Полусумма сторон AB и AC равна (AB + AC)/2, а полуразность суммы сторон AB и AC и стороны BC равна ((AB + AC) - BC)/2.

Для начала докажем, что медиана BD меньше полусуммы сторон AB и AC.

Проведем медиану AD и обозначим точку пересечения медиан BD и AD как M.

Так как медиана делит сторону пропорционально, то AM = MC и BM = MD. Тогда BM = 1/2 * BD.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и AMC. В них:

AB + BD > AM
AC + MC > AM

Сложим эти неравенства:

AB + AC + BD + BC > 2AM
AB + AC > 2AM - BC

Заменим AM на BD/2:

AB + AC > 2BD/2 - BC
AB + AC > BD - BC

Получаем, что медиана BD меньше полусуммы сторон AB и AC.

Теперь докажем, что медиана BD больше полуразности суммы сторон AB и AC и стороны BC.

Из неравенства AB + AC > BD - BC можем выразить BD:

BD < AB + AC + BC

Это означает, что медиана BD меньше суммы всех сторон треугольника ABC.

Таким образом, медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с ней из одной вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника.