Для нахождения наибольшей высоты треугольника нужно использовать формулу для расчета высоты треугольника по его сторонам:

h = 2 * $площадьтреугольника$ / $основаниетреугольника$,

где h - высота треугольника, основание - любая из сторон треугольника.

Для начала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

a = 13, b = 37 12/13, c = 47 1/13.

Первоначально преобразуем дроби к общему знаменателю: 37 12/13 = 37 156/13 = 37 144 / 12 = 37 12, 47 1/13 = 47 47/13 = 47 46/13 = 47 1/13.

Теперь рассчитаем полупериметр треугольника:

s = $a+b+c$ / 2 = $13+3712+471$ / 13 = 54 13.

Теперь подставим найденные значения в формулу Герона:

S = √$s<em>(s-a)</em>(s-b)<em>(s-c)$ = √$5413</em>(5413-13)<em>(5413-3712)</em>(5413-471/13)$ = √$5413<em>4113</em>171$ = √$27<em>41</em>17$ = √$19077$.

Теперь найдем высоту треугольника:

h = 2 $площадьтреугольника$ / $a$ = 2 √$19077$ / 13.

Вычислим значение высоты:

h = 2 * √$19077$ / 13 ≈ 76.

Итак, наибольшая высота треугольника составляет примерно 76 целых.