Для доказательства этого утверждения, построим отрезок mc и рассмотрим треугольники amc и bmc. Так как amc и bmc лежат внутри треугольника abc, то сумма длин любых двух сторон этих треугольников будет больше длины третьей стороны.

Из этого следует, что am + mc > ac, и bm + mc > bc. Сложив эти два неравенства, получим am + bm + 2mc > ac + bc.

Далее заметим, что mc = am + bm, так как отрезок mc соединяет точки a и b. Подставив это в предыдущее неравенство, получим am + bm + 2(am + bm) > ac + bc, что эквивалентно 3(am + bm) > ac + bc. Отсюда следует, что am + bm < ac + bc, что и требовалось доказать.