Пусть радиус третьей окружности равен R1.

Третья окружность соприкасается с двумя данными окружностями и их общей внешней касательной, поэтому соединим центры трех окружностей. Обозначим центры окружностей как O1, O2 и O3, а точку касания общей касательной с третьей окружностью как A.

Так как три окружности касаются одна другой внешним образом, то прямые O1O2, O1A и O2A являются радиусами окружностей и их точки касания, и поэтому являются перпендикулярами к их касательным. Таким образом, O1O2, O1A и O2A являются высотами треугольника O1O2O3.

Так как O1O2 = R + r, то из треугольника прямая O1O2 равна R + r.

Так как O1O3 = R + R1 и O2O3 = r + R1, то из треугольника O1O2O3 получаем:

(R + R1) + (r + R1) = R + r

R + r + 2R1 = R + r

2R1 = 0

R1 = 0

Таким образом, радиус третьей окружности равен нулю, что противоречит условию задачи. Следовательно, такой третьей окружности не существует.