Для доказательства данной формулы, разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника по медиане.

Пусть D - середина стороны АВ, тогда медиана AD является высотой треугольника. Проведем высоту CE из вершины C на сторону AB, тогда треугольник ACE также является прямоугольным.

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и ACE:

S(ABC) = S(ABD) + S(ACE)

S(ABC) = 1/2 AB h + 1/2 AC h, где h - высота треугольника ABC

Так как медиана является перпендикуляром к стороне и делит ее пополам, то AB = 2 BD и AC = 2 CE

Подставим это в формулу:

S(ABC) = 1/2 2 BD h + 1/2 2 CE h

S(ABC) = 2/2 BD h + 2/2 CE h

S(ABC) = BD h + CE h

Так как BD = CE = m, а h = n, то получаем:

S(ABC) = m n + m n

S(ABC) = 2 m n

S(ABC) = 2 * S(ABD)

Но площадь треугольника ABD равна половине произведения стороны на высоту, то есть S(ABD) = 1/2 AB n = 1/2 AB h

Таким образом, S(ABD) = S(ACE) = 1/2 AB h = 1/2 AC h = 1/2 m n

Отсюда, S(ABC) = 2 S(ABD) = 2 1/2 m n = 1/2 m 2 * n

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника ABC вычисляем по формуле S = 1/2 P r, где P - периметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.