Для начала найдем площадь треугольника PEF по формуле полупериметра: (S = \sqrt{p(p-PE)(p-PF)(p-EF)}), где (p = \frac{PE + PF + EF}{2}) - полупериметр треугольника.

(p = \frac{3 + 5 + 7}{2} = 7.5)

(S = \sqrt{7.5 \cdot 4.5 \cdot 2.5 \cdot 0.5} = \sqrt{42.1875} \approx 6.492)

После этого найдем радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ERA и EAF по формуле (R = \frac{abc}{4S}), где a, b, c - стороны треугольника.

Для треугольника ЕРА:

(R_{ERA} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 1.5}{4 \cdot 6.492} \approx 1.389)

Для треугольника EAF:

(R_{EAF} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 1.5}{4 \cdot 6.492} \approx 2.083)

Теперь найдем расстояние между центрами окружностей по формуле (d = \sqrt{R{ERA}^2 + R{EAF}^2})

(d = \sqrt{1.389^2 + 2.083^2} = \sqrt{1.927121 + 4.339889} \approx \sqrt{6.26701} \approx 2.504)

Ответ: (2d \approx 5.008)