Для начала найдем катеты прямоугольного треугольника по формуле Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Из условия известно, что гипотенуза равна 41 см:

a^2 + b^2 = 41^2 = 1681.

Также известно, что площадь треугольника равна 180 см^2:

S = (a * b) / 2 = 180.

Из двух уравнений можно выразить один катет через другой:

b = 360 / a.

Подставляем это выражение в уравнение Пифагора:

a^2 + (360 / a)^2 = 1681.

a^2 + 129600 / a^2 = 1681.

a^4 - 1681a^2 + 129600 = 0.

Получившееся уравнение является квадратным относительно a^2. Решив это уравнение, получим два возможных значения для a^2. Подставив их обратно, найдем значения катетов a и b:

a = 24, b = 15,

или

a = 15, b = 24.