Из условия задачи известно, что из точки касания до центра окружности проведены перпендикуляры.

Пусть радиус окружности равен r, тогда

AK = r + 6,

AL = r + 4,

LM = 7.

Используя теорему Пифагора для треугольника ALO, получаем:

(r + 6)^2 + (r + 4)^2 = 7^2,

r^2 + 12r + 36 + r^2 + 8r + 16 = 49,

2r^2 + 20r - 33 = 0.

Находим корни квадратного уравнения:

r = (-20 ± √(20^2 + 4233))/(2*2),

r = (-20 ± √124)/4,

r = (-20 ± 2√31)/4,

r = -5 ± 1/2√31.

Так как r - радиус окружности, то только положительное значение подходит для нас:

r = -5 + 1/2√31.

Теперь найдем длину стороны KM:

KM = 2r = 2*(-5 + 1/2√31) = -10 + √31.

Ответ: длина стороны KM равна -10 + √31 см.