Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем высоту CD из вершины C, проходящую через прямой угол.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то CD будет являться высотой, опущенной на гипотенузу AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, то CD является медианой, а также биссектрисой угла ACB. Это означает, что треугольник ACD будет также равнобедренным, и AC = AD.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. По теореме Пифагора имеем:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Поскольку AC = AD и треугольник равнобедренный, то:
AC^2 = CD^2 + CD^2 = 2CD^2
Из этого следует:
AC = √2 CD

Таким образом, высота CD равнобедренного прямоугольного треугольника, произведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы AC.