Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим угол BAC как α.

Так как точка A лежит между точками B и M, то угол ABC = MCB, обозначим его как β.

Теперь мы можем записать соотношения в треугольниках ABC и MCB:

cos(α) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2ABAC)
cos(β) = (CB^2 + MC^2 - MB^2) / (2CBMC)

Используя данные из условия задачи, подставим их в формулы и заменим AC на 8 + BC, зная, что NC = 8 и CB = 30:

cos(α) = (34^2 + (8 + 30)^2 - 30^2) / (234(8 + 30))
cos(β) = (30^2 + MB^2 - 40^2) / (230MB)

cos(α) = (1156 + 38^2 - 900) / (23438)
cos(β) = (30^2 + 40^2 - 40^2) / (23040)

cos(α) = (1156 + 1444 - 900) / (2588)
cos(β) = (900 + 1600 - 1600) / (2400)

cos(α) = 700 / 2588
cos(β) = 300 / 2400

cos(α) ≈ 0.270
cos(β) = 0.125

Таким образом, косинус угла M равен 0.125.