Используем теорему углового биссектрисы:
BM - биссектриса треугольника ABC, следовательно, отрезок BM делит угол ABC на два равных угла.
Таким образом, угол ABM равен углу CBM.
По условию, AB = 48 см, AC = 32 см, BM = 18 см.

Заметим, что треугольник ABC - прямоугольный (потому что BM - биссектриса, поэтому AM - медиана, а значит, ABC - прямоугольный), поэтому применим теорему Пифагора:
$$
AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}.
$$
ΔABC:
AB = 48, AC = 32, BM = 18, AM - продолжим биссектрису до пересечения с BC. Получим AM = 24 см.
Теперь располагаем треугольником AMB, где AM = 24, BM = 18, AB = 48. По теореме Пифагора:
$$
AM^{2} = BM^{2} + AB^{2} \Rightarrow
24^{2} = 18^{2} + x^{2}.
$$
Теперь найдем BC:
$$
(24)^{2} = (18)^{2} + x^{2} \Rightarrow 576 = 324 + x^{2} \Rightarrow x^{2} = 576 - 324 = 252 \Rightarrow x = \sqrt{252} = 2 \cdot \sqrt{63} = \boxed{12\sqrt{7}\text{см}}.
$$