Длина окружности равна периметру шестиугольника, так как она проходит через все вершины. Поэтому периметр шестиугольника равен 12 дм. Учитывая, что шестиугольник состоит из 6 равных сторон, каждая из которых равна периметру шестиугольника поделить на 6, получаем, что длина стороны равна 2 дм.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине высоты равностороннего треугольника, который образуют радиус, сторона и медиана треугольника. При этом медиана является высотой равностороннего треугольника и равна стороне умножить на √3/2.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2√3 дм.

Теперь можем найти площадь шестиугольника, используя формулу: S = 3√3 * r^2, где r - радиус вписанной окружности.

S = 3√3 (2√3)^2
S = 3√3 12
S = 36√3 дм^2

Ответ: площадь шестиугольника равна 36√3 дм^2.