Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся следующим наблюдением:

Угол между касательной к окружности и радиусом, проведенным из точки касания, равен углу между этим радиусом и хордой, соединяющей точку касания с другой точкой пересечения с окружностью.

Так как точка O - центр вписанной окружности, то углы AOB и ACB будут равны половине угла центральной дуги, проходящей через точки A и B.

Из наблюдения о равенстве углов получаем, что угол AOB равен углу между радиусом AO и хордой BC.

Теперь обратим внимание на треугольник OBC. Угол BOC будет равен дважды углу ACB, поскольку он опирается на дугу ACB и описанный треугольник функционирует вокруг центра вписанной окружности O.

Получается, что угол ABC равен половине угла BOC, который в свою очередь равен углу ACB.

Окончательно, угол AOB равен 90° + 1/2∠ACB.