Для решения этой задачи нам понадобится теорема синусов. Обозначим сторону AB как a, сторону BC как b и сторону AC как c.

По условию, точка E делит BC на отрезки длиной 4 см и 12 см. Пусть отрезок BE равен 4 см, а отрезок EC равен 12 см. Таким образом, мы можем найти стороны треугольника ABC:

a = BE = 4 см
c = EC = 12 см

Теперь, с помощью теоремы синусов, мы можем найти третью сторону треугольника. Для этого нам нужно найти угол BAC. Угол BAC равен 180 градусов минус угол ABC минус угол ACB, то есть:

∠BAC = 180° - 30° - 30° = 120°

Теперь можем найти сторону b с использованием теоремы синусов:

b / sin$30°$ = 12 / sin$120°$

b = 12 sin$30°$ / sin$120°$ b = 12 0.5 / 0.866
b ≈ 6.9282 см

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Для нахождения площади треугольника ABC можем воспользоваться формулой для площади треугольника через длины сторон и полупериметр:

p = $a+b+c$ / 2
p = $4+6.9282+12$ / 2
p ≈ 11.9641 см

S = √$$p<em>(p-a)</em>(p-b)<em>(p-c)$$ S = √$$11.9641</em>(11.9641-4)<em>(11.9641-6.9282)</em>(11.9641-12)$$ S = √$$11.9641<em>7.9641</em>5.0359\ast -0.0359$$ S = √$$284.8316$$ S ≈ 16.88 см^2

Ответ: Площадь треугольника ABC ≈ 16.88 см^2.