Дано: треугольники ABC и ADC равнобедренные, AC = 18, углы при основании равны 30 и 60 градусов, BD = √189.

Поскольку треугольники ABC и ADC равнобедренные, то AB = BC и AD = DC. Также из условия задачи мы знаем, что угол BAC = 60 градусов, а угол DAC = 30 градусов.

Построим треугольник ABD. Так как AB = BC, то угол ABC = угол ACB = 60 градусов. Также угол ABD = 90 градусов.

Из прямоугольного треугольника ABD мы можем найти длину BD:
BD^2 = AB^2 - AD^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243
BD = √243 = 3√27 = 3√9*3 = 9√3

Так как BD = √189, то получаем, что 9√3 = √189, следовательно, у нас есть правильные исходные данные.

Далее, найдем угол между плоскостями. Обозначим угол между плоскостями как θ. Так как треугольник ABC равнобедренный, то он также равносторонний, и угол между плоскостями будет равен углу BAC, то есть 60 градусов.

Итак, угол между плоскостями, на которых лежат треугольники ABC и ADC, равен 60 градусов.