Для доказательства неравенства КР < МР рассмотрим треугольники MRP и KRP.

Из условия нам дано, что треугольник MNP - остроугольный. Значит, угол MNP острый. Так как точка К лежит на стороне MN, то угол PKN тоже будет острым (так как внутренний угол треугольника острый).

Так как угол NKP острый, а угол PKN острый, то треугольник NKP также остроугольный.

Теперь рассмотрим треугольник KRP. Так как угол NKP острый, а угол KRP тупой (дополнение к острому углу NKP), то треугольник KRP - остроугольный.

Из остроугольности треугольника KRP следует, что гипотенуза KR будет больше катета KP по теореме косинусов для треугольника KRP:

KR^2 = KP^2 + PR^2 - 2 KP PR * cos(∠KRP)

Так как cos(∠KRP) < 0 (так как угол KRP тупой), то:

KR^2 > KP^2 + PR^2 - 2 KP PR

KR^2 > KP^2 + PR^2 - 2 KP PR

(КR)^2 - (KP)^2 > PR^2 - 2KP * PR

(KR - KP)(KR + KP) > PR(PR - 2KP)

Так как KR > KP (так как треугольник MRP остроугольный), то KR - KP > 0 и KR + KP > 0. Также PR - 2KP > 0, так как KP < PR.

Отсюда следует, что KR - KP > 0 и PR(PR - 2KP) > 0.

Следовательно, KR > KP, что и требовалось доказать. Точка КР лежит на стороне MN, и NKP - острый.