Пусть радиус окружности равен r, а высота трапеции h.

Так как точка касания окружности с основанием АВ делит эту сторону на два отрезка, то мы имеем два прямоугольных треугольника с гипотенузой r и катетами h и (17-r).

Составляем уравнения:

r^2 = h^2 + (17-r)^2

r^2 = h^2 + 289 - 34r + r^2

34r = h^2 + 289

Аналогично для второго прямоугольного треугольника, получаем:

r^2 = h^2 + (15-r)^2

r^2 = h^2 + 225 - 30r + r^2

30r = h^2 + 225

Из двух уравнений получаем:

34r - 30r = 64

4r = 64

r = 16

Следовательно, радиус окружности равен 16.

Теперь можем найти высоту h:

16^2 = h^2 + 289

h^2 = 256

h = 16

Площадь трапеции равна:

S = (AB + CD)h/2 = (17 + 15)16/2 = 32*16/2 = 256

Ответ: площадь трапеции равна 256.