Обозначим точку, в которой пересекаются прямые BC и AD, как точку O.

Так как точка M является серединой отрезков AC и BD, то AM = MC и BM = MD.

Рассмотрим треугольники AOM и CMO.
Так как AM = MC и угол OAM = OCM (поскольку прямые BC и AD параллельны, то углы AOM и OCM равны соответственно углам DOM и DCM, и углы OAM и OCM равны соответственно углам MDA и MCA),
то треугольники AOM и CMO равны по стороне-углу-стороне.

Отсюда следует, что угол OMA равен углу OMC и при этом равны 180 градусов, так как сумма углов треугольника равно 180 градусов.

Из этого следует, что прямые BC и AD параллельны, так как угол OMC равен 180 градусов и BC луч проходит через точку O.

Таким образом, прямые BC и AD параллельны.