Для правильного треугольника со стороной а длина вписанной окружности равна (2\pi a/\sqrt{3}). Для такого треугольника радиус вписанной окружности равен (a/\sqrt{3}).

Таким образом, вписанная окружность касается каждой стороны треугольника в одной точке.

Для правильного треугольника с радиусом описанной окружности (R) длина окружности описанной около треугольника равна (2\pi R). Найдем радиус описанной окружности.

В правильном треугольнике сторона (a) равна диагонали вписанного квадрата. Диагональ квадрата равна (2R) (где (R) - радиус описанной окружности), поэтому (a = 2R).

Отсюда (R = a/2).

Длина окружности описанной около треугольника равна:

(2\pi R = 2\pi a / 4 = \pi a / 2)

Таким образом, длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна (\pi a / 2) или (a\sqrt{3} / 2) или (2\sqrt{3} \pi) см.