Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами медиан треугольника.

Поскольку медианы пересекаются в точке О и перпендикулярны, то точка О будет центром тяжести треугольника ABC. Это означает, что отношение площадей треугольников AOB и ABC равно отношению квадратов медиан AM и BN: Sаob / Sabc = (AM^2 + BN^2) / 4AM^2.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:
Sabc = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника.

Находим стороны треугольника ABC с помощью теоремы Пифагора:
AC = √[(2AM)^2 + BN^2] = √[4AM^2 + BN^2],
BC = √[AM^2 + (2BN)^2] = √[AM^2 + 4BN^2].

Вычисляем полупериметр треугольника ABC:
p = (AB + AC + BC) / 2.

Зная площадь треугольника ABC, находим площадь треугольника AOB:
Sаob = (AM * BN) / 2.

Теперь подставляем все известные значения и вычисляем результаты:

AM = 9 см, BN = 12 см.
AC = √[(29)^2 + 12^2] = √[324 + 144] = √468 = 2√117,
BC = √[9^2 + (212)^2] = √[81 + 288] = √369 = √(33^233^2),
p = (AB + AC + BC) / 2 = (12 + 2√117 + √(33^233^2)) / 2 = (12 + 2√117 + 3√3) / 2.

Sabc = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[p(p-2√117)(p-√(33^23*3^2))].

Sаob = (9 * 12) / 2 = 54 см^2.

Это примерно как выглядит решение, извините за такой вид, но мое оформление не позволяет выполнять математические операции в эквивалентной форме.