Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Известно, что в треугольнике ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC * cos(B)

Также, из треугольника BMR:
MR^2 = BM^2 + BR^2 - 2 BM BR * cos(MBR)

Подставляем известные значения:
BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 5 8 cos(B)
BC^2 = 25 + 64 - 80 cos(B)
BC^2 = 89 - 80 * cos(B)

Теперь найдем cos(B):
cos(B) = (5^2 + 10^2 - 8^2) / (2 5 10) = (25 + 100 - 64) / 100 = 0.61
cos(B) = 0.61

Подставим значение cos(B) в уравнение для BC^2:
BC^2 = 89 - 80 * 0.61
BC^2 = 89 - 48.8
BC^2 = 40.2
BC = sqrt(40.2)
BC ≈ 6.34

Теперь можем рассчитать отрезок MR:
MR^2 = 3^2 + 6^2 - 2 3 6 cos(MBR)
MR^2 = 9 + 36 - 36 cos(MBR)
MR^2 = 45 - 36 * cos(MBR)

Теперь найдем cos(MBR):
cos(MBR) = (3^2 + 6^2 - 5^2) / (2 3 6) = (9 + 36 - 25) / 36 = 20 / 36 = 0.56
cos(MBR) = 0.56

Подставим значение cos(MBR) в уравнение для MR^2:
MR^2 = 45 - 36 * 0.56
MR^2 = 45 - 20.16
MR^2 = 24.84
MR = sqrt(24.84)
MR ≈ 4.98

Таким образом, отрезок MR ≈ 4.98 см.