Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от нее. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX+XN имеет наименьшее значение.
Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от нее. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX+XN имеет наименьшее значение.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть точки М и N находятся на прямой а справа от X. Рассмотрим произвольную точку Y на прямой а. Тогда MY + YN > MX + XN, так как MX < MY и XN < YN. Значит, точка X, для которой сумма расстояний MX + XN минимальна, находится между точками М и N.
Предположим, что существует другая точка X', удовлетворяющая условиям задачи. Так как X и X' находятся между М и N, то X и X' также находятся между X и N. Тогда по неравенству треугольника для точек М, X и X' получаем, что MX + XX' > MX' + XX'. Аналогично, для точек X, X' и N получаем, что XX' + X'N > XX' + XN. Сложив эти два неравенства, получаем MX + XN > MX' + X'N, что противоречит условиям задачи.
Значит, точка X, для которой сумма расстояний MX + XN минимальна, единственна.