Пусть сторона треугольника АВС равна a, тогда полупериметр треугольника равен p = (a + b + c) / 2 = (a + a + a) / 2 = 3a / 2.

Из условия задачи знаем, что a = 7√3. Тогда полупериметр равен p = 3 * 7√3 / 2 = 21√3 / 2.

Пусть радиус окружности равен r. Тогда можем составить уравнение касательной к стороне ВС:

r = (p * h) / (p + α + β),

где h - высота треугольника, α и β - углы между касательной и продолжениями сторон треугольника (углы с вершинами в точках касания).

Вспоминаем, что треугольник АВС равносторонний со стороной a = 7√3 и углом В = 120. Так как угол В - это угол между касательной и стороной треугольника, то α = β = 60.

Так как сторона ВС треугольника АВС является средней линией, то длина ВС равна половине длины стороны АВ, т.е. ВС = a / 2 = 7√3 / 2.

Тогда можем подставить все значения в уравнение для радиуса окружности:

r = (21√3 / 2 * 7√3 / 2) / (21√3 / 2 + 60 + 60) = (147 / 4) / (105√3 / 2) = 147 / 210 = 7 / 10.

Ответ: радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС, равен 7 / 10.