Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим AK = x.

Из прямоугольного треугольника MAK найдем значение sin(MAK):
sin(MAK) = AK / MK = x / 41

Затем найдем значение sin(MAN):
sin(MAN) = AN / MN = AN / 21

Так как угол MAN равен 45 градусам, то sin(45) = 1/√2.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника MAN:
cos(MAN) = AN / MN = AN / 21 = cos(45) = 1/√2

Из полученного равенства найдем значение AN:
AN = 21 / √2 = 21√2 / 2

Так как угол MAN равен 45 градусам и угол MAK прямой, то угол KAN равен 45 - 90 = -45 градусов.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника KAN:
cos(KAN) = AK / AN = x / (21√2 / 2)

cos(-45) = -cos(45) = -1/√2

Из полученного равенства найдем значение x:
x = (21√2 / 2) * (-1/√2) = -21 / 2

Таким образом, AK = -21 / 2 = -10.5

Ответ: AK = -10.5