Пусть высота конуса равна h, радиус основания конуса равен R, радиус вписанной сферы равен r.

Площадь сферы равна 4πr^2, а площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле S = πR√(R^2 + h^2), так как осевое сечение конуса — правильный треугольник.

Таким образом, отношение искомых площадей равно:

(4πr^2)/(πR√(R^2 + h^2)) = 4r^2/(R√(R^2 + h^2))

Найдем радиус вписанной сферы через параметры конуса. Так как высота конуса h равна стороне правильного треугольника в осевом сечении конуса, а радиус основания R — половине его основания, то r = R/√3.

Подставим это значение в формулу отношения площадей:

4(R^2/3)/(R√(R^2 + h^2)) = 4R/3√(R^2 + h^2)

Таким образом, отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса равно 4R/(3√(R^2 + h^2)).