Для начала найдем высоту правильного тетраэдра. Так как правильный тетраэдр состоит из 4 равных равносторонних треугольников, его высота равна $\frac{2}{\sqrt{3}}a$, где $a$ - длина стороны тетраэдра. Так как площадь поверхности тетраэдра равна $2\sqrt{3}{a}^2$, то длина стороны $a=\sqrt[4]{3}$.

Теперь найдем радиус вписанного конуса. Площадь поверхности конуса равна $4\pi r^2$, где $r$ - радиус конуса. Так как образуемая конусом поверхность является боковой поверхностью тетраэдра, то высота конуса равна $\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[4]{3}$.

Используем формулу для объема конуса $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$, где $h$ - высота конуса:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[4]{3}=\frac{2}{3}\pi r^2\sqrt[4]{3}$$

Таким образом, площадь поверхности вписанного конуса равна $4\pi r^2=\frac{3}{2}\sqrt{3}$.