2) Периметр сектора равен сумме длины дуги и двух радиусов, поэтому у нас есть уравнение:
5π + 2r = 20π, где r - радиус сектора (10 см).
Отсюда получаем: 2r = 15π, r = 7,5 см.

Площадь сектора вычисляется по формуле: S = (α/360) π r^2, где α - центральный угол.
Так как длина дуги равна 5π и радиус равен 10 см, то α = (5π/10π) * 360 = 180 градусов.

Итак, S = (180/360) π 7,5^2 = 56,25π см^2.

3) Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников, каждый из которых будет равнобедренным. Поскольку периметр правильного прямоугольника равен 45 см, сторона прямоугольника равна 45/4 = 11,25 см.
Это же расстояние будет равно длине равностороннего треугольника, которое в свою очередь равно стороне вписанного шестиугольника.

Таким образом, сторона правильного шестиугольника равна 11,25 см.

4) Площадь квадрата равна площади круга, вписанного в него. Площадь круга равна π r^2, где r - радиус круга.
Условие говорит, что площадь вписанного круга равна 144π см^2.
Отсюда получаем: π r^2 = 144π, r^2 = 144, r = 12 см.

Так как диагональ квадрата равна диаметру вписанного круга, то сторона квадрата будет равна 2r или 24 см.

Итак, площадь квадрата равна 24^2 = 576 см^2.