Для начала обозначим точку пересечения диагонали AC с отрезком BE как точку M.

Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, то он можно разделить на равлнобедренные треугольники ABC и DEF, где угол ABC = DEF = 120 градусов.

Также диагональ AC разделяет треугольник ABC на два треугольника с одинаковым основанием (AB = BC), следовательно площади этих треугольников будут пропорциональны высотам точки M, опущенным на основания (по теореме о площадях треугольников).

Теперь рассмотрим треугольники AMC и BMC. Они подобны треугольникам ABC и DEF, так как углы AMC и BMC равны углам ABC и DEF соответственно. Таким образом, площади треугольников AMC и BMC также будут пропорциональны квадратам высот точки M, опущенных на основания AM и BM.

Итак, площадь треугольника AMC к площади треугольника BMC равна площади треугольника ABC к площади треугольника DEF. Но площади треугольников ABC и DEF пропорциональны числам 1:5 (по количеству оснований), следовательно площадь треугольника AMC к площади треугольника BMC также пропорциональна числам 1:5.

Таким образом, диагональ AC правильного шестиугольника ABCDEF действительно делит его на две фигуры, площади которых пропорциональны числам 1:5.