Для начала найдем высоту треугольника АВС, проведенную из вершины А к стороне ВС. По формуле для площади треугольника через стороны и медиану можно выразить высоту h:

S = (1/2) AB h
12√3 = (1/2) 7 h
h = 12√3 / (1/2 * 7) = 8√3

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник АВМ с катетом 3 (медиана) и гипотенузой 7 (сторона АВ). Найдем второй катет по теореме Пифагора:

AC = √(AB^2 - BM^2)
AC = √(7^2 - 3^2)
AC = √(49 - 9)
AC = √40 = 2√10

Таким образом, длина стороны АС равна 2√10, что является целым числом.