Пусть точка центра вписанной окружности в треугольнике - O, а точка пересечения меридианы проведенной из точки F с треугольником CFE - P.

Так как AFDO и FEPO - прямоугольные треугольники, то FO = OD и PE = PO. Также из теоремы касательных мы знаем, что OF = OE. Теперь рассмотрим треугольник FPO.

Так как PE = PO и FO = OE, то треугольник FPO равнобедренный, следовательно угол PFO равен углу OFP.

Теперь рассмотрим треугольники AFD и BOD. Мы знаем, что AD = DB и FD = DB. Также мы знаем, что угол ADF равен углу BDO, угол FAD равен углу OBD. Отсюда мы получаем, что треугольники AFD и BOD подобны, а значит FD/AD = OD/DB.

Так как AD = DB, то FD = OD. Это значит, что треугольники FPO и ODF равны, и угол PFO равен углу OFP равен 45 градусов.

Теперь заметим, что треугольник AFE также подобен треугольнику CFE, так как углы FAE и FEC равны, и углы FEA и ECF равны. Следовательно FE/FC = AE/AC = FD/AD, отсюда FE/5 = FD/3, отсюда FD = 5*3/3 = 5.

Таким образом, из треугольника FDO мы можем найти OD по теореме Пифагора: OD = √(FD^2 - FO^2) = √(5^2 - 5^2/2) = √25/2 = 5/√2.

Наконец, посчитаем длину меридианы: PF = sqrt((FO+FD)^2 + OD^2) = sqrt((5 + 5)^2 + (5/√2)^2) = sqrt(50 + 25/2) = sqrt(125/2) = 5√2.

Итак, длина меридианы проведенной из точки F в треугольнике CFE равна 5√2.