Для решения этой задачи воспользуемся формулой для высоты треугольника:

h = 2 * S / a,

где h - высота, S - площадь треугольника, а - сторона треугольника.

Площадь треугольника вычисляется по формуле Герона:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)),

где p = (a + b + c) / 2 - полупериметр треугольника.

Известно, что стороны треугольника равны 20 см и 22 см, а высота, проведенная к большей стороне, равна 15 см. Таким образом, нам известны значения a = 22 см, b = 20 см и h = 15 см.

Вычислим площадь треугольника:

p = (a + b + c) / 2 = (20 + 22 + h) / 2 = (42 + h) / 2,

S = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c)) = sqrt(((42 + h) / 2) (((42 + h) / 2 - 20) (((42 + h) / 2 - 22) ((42 + h) / 2 - h)) = sqrt(((42 + h) / 2) (22 - h) (20 - h) * (21 + h) / 2).

Так как для данного треугольника площадь равна 1/2 22 15 = 165 см², найдем h:

165 = sqrt(((42 + h) / 2) (22 - h) (20 - h) * (21 + h) / 2),

165² = ((42 + h) / 2) (22 - h) (20 - h) * (21 + h) / 2,

27225 = (42 + h) (22 - h) (20 - h) * (21 + h),

h = 12.

Таким образом, высота, которая проведена к меньшей стороне треугольника, равна 12 см.