Для доказательства параллелограммности четырехугольника АВСД рассмотрим два треугольника ВМД и МСА.

По условию, ВМ-медиана треугольника АВС, поэтому М является серединой стороны АС. Также задано, что отрезок МД равен отрезку ВМ. Значит, отрезки МД и ВМ равны и параллельны, что значит, что угол МДВ равен углу ВМД.

Теперь рассмотрим треугольники ВМД и МСА. У них по одной стороне равны и параллельны отрезки МД и ВМ, а также у них равны углы МДВ и ВМД. Значит, по признаку угла-параллельности, эти треугольники равны.

Из равенства треугольников следует, что отрезок МС равен отрезку МВ, а значит, МС параллельно ВА и равно ВА.

Таким образом, получаем, что АВСД - параллелограмм.