Для начала найдем длины сторон основания ромба. Пусть длины сторон равны a и b, тогда по условию задачи имеем:
a = 24√2
b = 15

Теперь найдем площадь основания ромба и его периметр:
S = (ab) / 2 = (24√2 15) / 2 = 180
P = 2 (a + b) = 2 (24√2 + 15) = 48√2 + 30

Так как одна диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов, то это означает, что высота параллелепипеда равна половине длины меньшей диагонали:
h = a / 2 = 24√2 / 2 = 12√2

Теперь найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда:
Sб = P h = (48√2 + 30) 12√2 = 576 + 360 + 720√2 = 936 + 720√2

Итак, площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна:
Sп = 2S + Sб = 2*180 + 936 + 720√2 = 360 + 936 + 720√2 = 1296 + 720√2

Ответ: площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна 1296 + 720√2 квадратных сантиметров.