Для начала определим количество атомов водорода и кислорода в конечном растворе после реакции с пероксидом бария. Учитывая, что отношение n$H$:n$O$ равно 9:5, можем написать, что n$H$ = 9x, а n$O$ = 5x, где x - это некоторое число.

Так как в пероксиде бария каждый атом бария связан с двумя атомами кислорода, получаем уравнение:

2n$O$ = n$BaO2$, где n$BaO2$ - количество молей пероксида бария.

Поскольку все вещества прореагировали полностью, то количество атомов кислорода и водорода должно равняться в начальном и конечном растворе. Таким образом:

n$H$ + n$O$ = n$H2O$ + n$H2SO4$, где n$H2O$ - количество молей воды, n$H2SO4$ - количество молей серной кислоты.

Зная, что в конечном растворе n$H$ = 9x и n$O$ = 5x, можем написать уравнение:

9x + 5x = n$H2O$ + n$H2SO4$.

Теперь рассмотрим реакцию окисления веществами пероксида бария и оксида марганца $4$. После реакции окисления марганцом раствор стал тяжелее на 6,4 грамма. Это означает, что произошло окисление марганцем атомов водорода в серной кислоте до воды, поэтому можем написать уравнение:

2n$H2SO4$ + n$O2$ = 2n$H2O$.

Теперь рассмотрим реакцию восстановления оксидом марганца $4$, в результате которой раствор опустошается на 6,4 грамма:

2n$MnO2$ = 6,4 моль.

Теперь можно составить систему уравнений и решить её методом подстановок или методом Гаусса-Жордана для определения концентрации кислоты до добавления пероксида.