Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи одномерной волновой функции для свободной частицы связаны между собой посредством формулы Эйлера.

Экспоненциальная форма записи одномерной волновой функции для свободной частицы имеет вид:
ψ(x, t) = A exp[i(kx - ωt)]
где A - амплитуда нормированной волновой функции, k - волновое число, ω - круговая частота, x - координата, t - время.

Тригонометрическая форма записи данной функции может быть получена с помощью формулы Эйлера:
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)

Подставляя формулу Эйлера в экспоненциальную форму записи волновой функции, получаем:
ψ(x, t) = A [cos(kx - ωt) + i sin(kx - ωt)]

Таким образом, тригонометрическая и экспоненциальная формы записи одномерной волновой функции для свободной частицы связаны между собой через формулу Эйлера.