Mn$NO3$2 + K2S2O8 + H2O -> MnO2 + K2SO4 + HNO3 + O2

Первым шагом определяем число электронов в каждом веществе:
Mn$NO3$2: Mn$2+$ - 2e
K2S2O8: S$4+$ - 8e
H2O: O$-2$ - 2e

Затем выравниваем количество электронов в обоих частях реакции:
Mn$NO3$2 + 2K2S2O8 + H2O -> MnO2 + K2SO4 + 2HNO3 + 3O2

После этого выравниваем количество каждого элемента:
Mn$NO3$2 + 2K2S2O8 + H2O -> MnO2 + K2SO4 + 2HNO3 + 3O2

Таким образом, уравнение реакции будет:
Mn$NO3$2 + 2K2S2O8 + H2O -> MnO2 + K2SO4 + 2HNO3 + 3O2