Данное уравнение реакции можно сбалансировать следующим образом:
1) Сначала составим частичные окислительные и восстановительные полуреакции:

Окислитель: MnO4- -> MnO2
Восстановитель: H2S -> S

2) Балансируем атомы в каждой полуреакции:

MnO4- -> MnO2
S -> S

3) Добавляем необходимое количество электронов:

MnO4- + 5e- -> MnO2
H2S -> S + 2e-

4) Уравниваем количество электронов в обеих полуреакциях:

2(MnO4- + 5e- -> MnO2)
3(H2S -> S + 2e-)

5) Суммируем полуреакции и сокращаем общие члены:

2MnO4- + 10e- + 6H2S -> 2MnO2 + 6S + 4H2O

6) Добавляем пропущенные коэффициенты:

2H2S + 2MnO4- -> 2S + 2MnO2 + 4H2O

Получаем сбалансированное уравнение реакции:
2H2S + 2MnO4- -> 2S + 2MnO2 + 4H2O

Окислитель: MnO4-
Восстановитель: H2S