При электролизе Cu$NO3$2 на катоде будет осаждаться медь, а не водород. Медь - это металл, который имеет достаточно высокую активность, чтобы выходить на катод при электролизе раствора его соли. Таким образом, ваш учитель правильно указал, что на катоде будет осаждаться как медь, так и водород.